六尖课后作业答案解析

（1）$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
（2）$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
（3）$1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$
（4）$1^2+2^2+\cdots+n^2=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
（5）$1^3+2^3+\cdots+n^3=(1+2+3+\cdots+n)^2$

（图示见讲义原页）

（4）三个三角形图叠放在一起，就获得（4）式的 $3$ 倍，每个位置上三层之和都是 $(2n+1)$，一共有 $(1+2+3+\cdots+n)$ 个．所以 $1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=(2n+1)\times\dfrac{1}{2}n(n+1)\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$．

（5）$1^3+2^3+3^3+\cdots+(n-1)^3+n^3=(1+2+3+4+\cdots+n)^2$．

$ac+ad+bc+bd$；$ax+ay+az+bx+by+bz$

$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$，

$(a+b)(x+y+z)=ax+ay+az+bx+by+bz$．

$1+2+3+4+3+2+1=4\times4=16$．

$1+2+3+\cdots+99+100+99+\cdots+2+1=100\times100=10000$．

（1）$42925$
（2）$1540$

（1）$1^2+2^2+\cdots+50^2=\dfrac{1}{6}\times50\times51\times101=42925$．

（2）$2^2+4^2+\cdots+20^2=2^2\times(1^2+2^2+\cdots+10^2)=4\times\dfrac{1}{6}\times10\times11\times21=1540$．

$a^2$；$b^2$；$ab$；$ab$；$a^2+2ab+b^2$；$45$

$A=a^2$，$B=b^2$，$C=ab$，$D=ab$，故 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$．

由 $(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=2021+2\times2=2025$，所以 $x+y=45$．

（1）$5\times\dfrac{5}{6}=5-\dfrac{5}{6}$
（2）$n\times\dfrac{n}{n+1}=n-\dfrac{n}{n+1}$

（1）第五个等式为 $5\times\dfrac{5}{6}=5-\dfrac{5}{6}$（图示见讲义）．

（2）第 $n$ 个图形对应的等式为：$n\times\dfrac{n}{n+1}=n-\dfrac{n}{n+1}$．

再相乘会得到 $9$ 个积；所有的积的和是 $30$

共有 $3\times3=9$ 个积，将 $A$、$B$ 组中每个数看成下图每个小长方形的长和宽，求所有积的和，即为图中所有小长方形面积的和，即大长方形的面积，因此所有积的和为：
$$(0.6+0.9+1.5)\times(3.2+4.3+2.5)=30.$$

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，完全平方差公式．

去掉小路后，剩余部分可拼成边长为 $(a-b)$ 的正方形，则面积为 $(a-b)^2$；

直接从总面积里减去小路的面积：$a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2$（注意容斥原理的应用），

则 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，验证了完全平方差公式．

整体为 $1$，每个加数为一块，最后剩一块 $\dfrac{1}{128}$，所以原式 $=1-\dfrac{1}{128}=\dfrac{127}{128}$．

$42$；$378$

见下图，以横线表示本数，纵线表示单价，因为矩形 $A$ 的面积与矩形 $B$ 的面积相等，所以矩形 $A$ 的长是矩形 $B$ 的宽的 $6$ 倍，设批发价为 $x$ 元（图中矩形 $B$ 的宽），因此按批发价买了 $(6x+12)$ 本，则有：$x(6x+12)=m$，即 $6x(x+2)=m$．根据题意按批发价买了 $(6x+12)$ 本应该大于 $50$，所以 $x>6$，且 $m<400$，当 $x=7$ 时，$m=6\times7\times9=378<400$，当 $x=8$ 时，$m=6\times8\times10=480>400$．所以 $x=7$，因此该班有 $6\times7=42$ 人，班费有 $378$ 元．

（1）$\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$；$\dfrac{4^2\times(4+1)^2}{4}$
（2）$3025$

（1）$1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=(1+2+3+\cdots+n)^2=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$；

$(1+2+3+4)^2=\left[\dfrac{4\times(4+1)}{2}\right]^2=\dfrac{4^2\times(4+1)^2}{4}$．

（2）$\dfrac{10^2\times11^2}{4}=3025$．

C

图形①是 $\dfrac{1}{3}$，图形②是 $\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}$，图形③是 $\dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{12}$，图形④是 $\dfrac{1}{12}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{24}$，从③开始加起来无限接近②，所以相当于所有的部分相当于 ①＋②＋② $=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{3}$，故选 C．

原式 $=\left(1-\dfrac{1}{3}\right)+\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{11}\right)=1-\dfrac{1}{11}=\dfrac{10}{11}$．

原式 $=1-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{9}+\cdots+\dfrac{1}{41}-\dfrac{1}{45}=1-\dfrac{1}{45}=\dfrac{44}{45}$．

$\dfrac{95}{42}$（即 $2\dfrac{11}{42}$）

原式 $=5\times\left(\dfrac{1}{2\times3}+\dfrac{1}{3\times4}+\cdots+\dfrac{1}{20\times21}\right)=5\times\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{21}\right)=5\times\dfrac{19}{42}=\dfrac{95}{42}$．

原式 $=\dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{2}{2\times4}+\dfrac{2}{4\times6}+\cdots+\dfrac{2}{12\times14}\right)=\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{14}\right)\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{14}$．

原式 $=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{11}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{11}=\dfrac{9}{22}$．

原式 $=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{11}-\dfrac{1}{11}-\dfrac{1}{14}+\dfrac{1}{14}+\dfrac{1}{17}-\dfrac{1}{17}-\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{23}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{23}=\dfrac{25}{46}$．

原式 $=(1+2+3+\cdots+8)+\left(\dfrac{1}{1\times2}+\dfrac{1}{2\times3}+\dfrac{1}{3\times4}+\cdots+\dfrac{1}{8\times9}\right)=36+\left(1-\dfrac{1}{9}\right)=36\dfrac{8}{9}$．

原式 $=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{7}+\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\right)+\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}\right)+\left(\dfrac{2}{7}+\dfrac{1}{3}\right)+\left(\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{7}\right)=\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\right)+\left(-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\right)+\left(\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{2}{5}\right)+\left(\dfrac{3}{7}+\dfrac{2}{7}+\dfrac{2}{7}\right)=3$．

由规律 $a_n=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n+1}\right]$，所以 $a_1+a_2+\cdots+a_{20}=\dfrac{1}{2}\times\left(1-\dfrac{1}{41}\right)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{40}{41}=\dfrac{20}{41}$．

原式 $=\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{8}+\cdots+\dfrac{1}{29}-\dfrac{1}{32}\right)\times\dfrac{256}{3}=\dfrac{15}{32}\times\dfrac{256}{3}=40$．

原式 $=\left(1-\dfrac{1}{15}\right)+\left(1-\dfrac{1}{35}\right)+\cdots+\left(1-\dfrac{1}{483}\right)=10-\left(\dfrac{1}{3\times5}+\dfrac{1}{5\times7}+\cdots+\dfrac{1}{21\times23}\right)=10-\dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{23}\right)=10-\dfrac{10}{69}=9\dfrac{59}{69}$．

原式 $=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{31}+\dfrac{1}{41}+\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{17}\right)+\left(\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{17}\right)+\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{30}\right)+\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{41}\right)+\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{31}\right)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}=2\dfrac{1}{7}$．

原式 $=\left(\dfrac{1}{1\times3}+\dfrac{1}{3\times5}+\cdots+\dfrac{1}{19\times21}\right)+\left(\dfrac{1}{2\times4}+\dfrac{1}{4\times6}+\cdots+\dfrac{1}{18\times20}\right)=\dfrac{1}{2}\times\left(1-\dfrac{1}{21}\right)+\dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{20}\right)=\dfrac{589}{840}$．

原式 $=1+\dfrac{2}{2^2-1}+1+\dfrac{2}{4^2-1}+\cdots+1+\dfrac{2}{2006^2-1}=1003+\dfrac{2}{1\times3}+\dfrac{2}{3\times5}+\cdots+\dfrac{2}{2005\times2007}=1003+\left(1-\dfrac{1}{2007}\right)=1003\dfrac{2006}{2007}$．

将分母的两个平方数计算出来，发现分子恰好等于这两个数的差，因此可以裂差：原式 $=\dfrac{4-1}{1\times4}+\dfrac{9-4}{4\times9}+\dfrac{16-9}{9\times16}+\cdots+\dfrac{100-81}{81\times100}=1-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{9}+\cdots+\dfrac{1}{81}-\dfrac{1}{100}=1-\dfrac{1}{100}=\dfrac{99}{100}$．

（1）$13$(2) $28$

（1）数一数可知：前四个点群中包含的点数分别是：$1$，$4$，$7$，$10$。

可以看出，在每相邻的两个数中，后一个数都比前一个数大$3$.

因为方框内应是第（5）个点群，它的点数应该是 $10 + 3 = 13$ （个）.

（2）列表，依次写出各点群的点数，可知第（10）个点群包含有$28$个点.



或观察图形与序列号的关系，可知第（10）个点群中包含 $10 + 9 \times 2 = 28$ （个）点。

$19$；$100$

第一个宝塔包含$1$个小三角形，第二个宝塔包含$4$个小三角形，第三个宝塔包含$9$个小三角形，第四个宝塔包含$16$个小三角形，从其中找规律可以发现，增加的个数按$3$、$5$、$7$、…奇数排列顺序递增，所以如果摆$10$层，则最下层包含$19$个小三角形，整个$10$层“宝塔”共包含$100$个小三角形。

$511$.

方案一：根据图形的规律可以发现后一个图形是前一个的两倍再加$1$，所以依次为：$3$、$7$、

$15$、$31$、$63$、$127$、$255$、$511$.

方案二：也可以按照行数找规律，

第一个图 $1 + 2 = 3$ 个点，

第二个图 $1 + 2 + 4 = 7$ 个点，

第三个图是 $1 + 2 + 4 + 8 = 15$ 个点，

第四个图是 $1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31$ 个点，

一直枚举到第八个图是 $1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 = 511$ 个点.

第$1$幅：$6$；

第$2$幅： $6 \times 2 + 2 = 14$ ;

第$3$幅： $14 \times 2 + 2 = 30$ .

依此类推，每一幅是前一幅点数乘$2$再加$2$，则第$7$幅为$510$个点。

$34$.

$1$个鸡蛋只有$1$种吃法，$2$个鸡蛋只有$2$种吃法；当吃 $n$ 个鸡蛋（ $n \geqslant 3$ ）时，有两大类方法：

①先吃$n-2$个鸡蛋，再一天吃$2$个；

②先吃 $n - 1$ 个鸡蛋，再一天吃$1$个；

故知方法数数列是前两项为$1$、$2$的斐波那契数列：$1$、$2$、$3$、$5$、$8$、$13$、$21$、$34$、……$8$个鸡蛋有$34$种吃法。

登第一级台阶要$1$种，第二级台阶$2$种，第三级台阶$4$种，第四级台阶 $1+2+4=7$ 种，第五级台阶不能踩$0$种，第六级台阶 $4+7+0=11$ 种，第七级台阶 $7+0+11=18$ 种，第八级台阶 $0+11+18=29$ 种，第九级台阶 $11+18+29=58$ 种，第十级台阶 $18+29+58=105$ 种．

设进入第 $n$ 个房间方法数总和为 $a_{n}$ ，则 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 1$ ；并且从 $n = 3$ 开始，有

$a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2}$ ，可得此数列即为斐波那契数列，进入 $1\sim 8$ 号房间的方法数分别为$1$、$1$、

$2$、$3$、$5$、$8$、$13$、$21$。

$60$种.

列表标数法：

$∵$第$1$次：分别连接各边中点如图$2$，得到 $4+1=5$ 个正方形；

第$2$次：将图$2$左上角正方形按上述方法再分割如图$3$，得到 $4 \times 2 + 1 = 9$ 个正方形...

以此类推，根据以上操作，若第 $n$ 次得到$2013$个正方形，则 $4n + 1 = 2017$ ，

解得： $n = 504$ ：

方案一：每层的球数构成的数列为$1$、$3$、$6$、$10$、$15$、$21$、$28$、$36$、$45$、$55$、…这是一个$2$阶等差数列；可结合杨辉三角知答案为 $C_{12}^{3}=220$ 个，通项公式为 $C_{n+2}^{3}$ .

方案二：每层的球数构成的数列为$1$、$3$、$6$、$10$、$15$、$21$、$28$、$36$、$45$、$55$、…这是一个$2$阶等差数列；可结合杨辉三角知答案用 $1+3+6+10+15+21+28+36+45+55=220$ （个）.

方案三：我们可以把每一层球的数量用 $T$ 三角表格画出来，

每张表上数的数量： $1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + 10 = 55$ （个），三张表上相同位置的三个数总和是 $1 + 1 + 10 = 12$ ，三张表上的总和是 $55 \times 12 = 660$ ，一张表上的数总和即： $660 \div 3 = 220$ （个），所以$10$层总共用了$220$个小球。

$12$.

采用递推的方法，列表如下：



其中，根据规则，每次可以随意跳到相邻两个顶点中的一个上，一旦跳到 $D$ 点上就停止跳动，所以，每一步跳到 $A$ 的跳法数等于上一步跳到 $B$ 和 $E$ 的跳法数之和，每一步跳到 $B$ 的跳法数等于上一步跳到 $A$ 和 $C$ 的跳法数之和，每一步跳到 $C$ 的跳法数等于上一步跳到 $B$ 的跳法数，每一步跳到 $E$ 的跳法数等于上一步跳到 $A$ 的跳法数，每一步跳到 $D$ 的跳法数等于上一步跳到 $C$ 或到 $E$ 的跳法数，

观察可知，上面的递推结果与前面的枚举相吻合，所以青蛙在$6$次之内(含$6$次)跳到D点共有 $1+1+2+3+5=12$ 种不同的跳法．

（1）$22$（2）$100$（3） $1+\dfrac{n(1+n)}{2}$

（1）无解析
（2）无解析
（3）无解析

先画直线，把平面分成$2$个部分，再依次画$3$个三角形和$1$个圆，每个图形分别新增$2$、

$2 + 6 = 8$ 、 $2 + 6 + 6 = 14$ 、 $2 + 6 + 6 + 6 = 20$ 个交点，交点数与新增段数相同，每段可以增加一个部分，所以一共有 $2 + 2 + 8 + 14 + 20 = 46$ 个部分。

$34$.

方案一：可以先尝试一下，得出下面的图：其中经$1$次操作变为$1$的$1$个，即$2$，经$2$次操作变为$1$的$1$个，即$4$，经$3$次操作变为$1$的$2$个，即$3$，$8$，…，经$6$次操作变为$1$的有$8$个，即$11$，$24$，$10$，$28$，$13$，$30$，$64$，$31$．
于是，经$1$、$2$、…次操作变为$1$的数的个数依次为
$1$, $1$, $2$, $3$, $5$, $8$, …
①
这一串数中有个特点：自第三个开始，每一个等于前两个的和，即 $2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2, 8 = 5 + 3, \cdots$ 如果这个规律正确，那么$8$后面的数依次是 $8 + 5 = 13, 13 + 8 = 21, 21 + 13 = 34, \cdots$ 即经过$9$次操作变为$1$的数有$34$个．

为什么上面的规律是正确的呢？

道理也很简单．设经过n次操作变为$1$的数的个数为 $a_{n}$ ，则 $a_{1}=1$ ， $a_{2}=1$ ， $a_{3}=2$ ，…

从上面的图看出， $a_{n+1}$ 比 $a_n$ 大．一方面，每个经过 $n$ 次操作变为$1$的数，乘以$2$，就得出一个偶数，经过 $n + 1$ 次操作变为$1$；反过来，每个经过 $n + 1$ 次操作变为$1$的偶数，除以$2$，就得出一个经过 $n$ 次操作变为$1$的数．所以经过 $n$ 次操作变为$1$的数与经过 $n + 1$ 次操作变为$1$的偶数恰好一样多．前者的个数是 $a_n$ ，因此后者也是 $a_n$ 个．另一方面，每个经过 $n$ 次操作变为$1$的偶数，减去$1$，就得出一个奇数，它经过 $n + 1$ 次操作变为$1$，反过来．每个经过 $n + 1$ 次操作变为$1$的奇数，加上$1$，就得出一个偶数，它经过 $n$ 次操作变为$1$．所以经过 $n$ 次操作变为$1$的偶数经过 $n + 1$ 次操作变为$1$的奇数恰好一样多．而由上面所说，前者的个数就是 $a_{n-1}$ ，因此后者也是 $a_{n-1}$ 经过 $n + 1$ 次操作变为$1$的数，分为偶数、奇数两类，所以 $a_{n+1} = a_n + a_{n-1}$ ②

满足规律②，并且 $a_{1} = a_{2} = 1$ 的一串数①称为裴波那契数列，斐波那契（Fibonacci，约$1175$—$1250$）是意大利数学家，以他的名字命名的这种数列有很广泛的应用。

方案二：倒推得出下面的树状图；其中经$1$次操作变为$1$的数有$1$个，即$2$，经$2$次操作变为$1$的有$1$个，即$4$，经$3$次操作变为$1$的有$2$个，是一奇一偶，以后发现，每个偶数可以变成两个数，分别是一奇一偶，每个奇数变为一个偶数，于是，经$1$、$2$、……次操作变为$1$的数的个数依次为$1$，$1$，$2$，$3$，$5$，$8$，……这正是斐波那契数列；故答案为斐波那契数列的第$9$项，有$34$个．

（1）



(2) 顶点数+区域数-边数$=1$

(3) $1997$

①填表：



②由该表可以看出，所给四个平面图的顶点数、边数及区域数之间有下述关系：

$4 + 3 - 6 = 1; 8 + 5 - 1 2 = 1; 6 + 4 - 9 = 1; 1 0 + 6 - 1 5 = 1.$

所以，我们可以推断：任何平面图的顶点数、边数及区域数之间，都有下述关系：

顶点数+区域数-边数$=1$。

③由上面所给的关系，可知所求平面图的边数：边数 $=$ 顶点数 $+$ 区域数

$- 1 = 9 9 9 + 9 9 9 - 1 = 1 9 9 7 。$

原式 $= 9\times 10\times 11\div 3= 330$ 故答案为：$330$.

原式 $= (19 \times 20 \times 21 - 1 \times 2 \times 3) \div 3 = 2658$

原式 $= (24 \times 26 \times 28 - 0 \times 2 \times 4) \div 6 = 2912$

原式 $= (19 \times 21 \times 23 - 1 \times 3 \times 5) \div 6 + 1 \times 3 = 1530$

（1） $3n - 1$

(2) $n^{3}$

(3) $\dfrac{3n}{4n + 1}$

（1）公差为$3$的等差数列.

(2) 每一项都等于项数的三次方.

(3) 分子是项数的三倍, 分母是公差为$4$的等差数列.

通项公式 $a_{n}=2\times(1+2+\cdots+n)=n(n+1)$

原式= $1 \times 2 + 2 \times 3 + \cdots + 13 \times 14 = 910.$

$495$.

方案一：原式 $= (1 \times 3 + 3 \times 5 + \cdots + 9 \times 11) + (2 \times 4 + 4 \times 6 + \cdots + 10 \times 12)= \dfrac{1}{6} \times (9 \times 11 \times 13 - 1 \times 3 \times 5) + 1 \times 3 + \dfrac{1}{6} \times 10 \times 12 \times 14= 495$ ．
方案二：通项归纳．
通项为： $n \times (n + 2) = n^2 + 2n$ ；
原式 $= (1^2 + 2^2 + \cdots + 10^2) + 2 \times (1 + 2 + \cdots + 10)= 10 \times 11 \times 21 \div 6 + 110= 495$ ．

$1 + 3 = 2^{2}$，

$1 + 3 + 5 = 3^{2}$，

$1 + 3 + 5 + 7 = 4^{2}$，

以此类推，可得 $1+3+5+7+9+\cdots+(2n-1)=n^{2}$ .

原式= $(27 \times 32 \times 37 - 2 \times 7 \times 12) \div 15 = 2120$ .

原式 $= 28 + \dfrac{1}{12} \times (22 \times 25 \times 28 \times 31 - 1 \times 4 \times 7 \times 10) = 39788$

观察式子结构，归纳得通项式为： $(2n - 1)\times 2n$ ，化简得： $4n^{2} - 2n$ ，故原式可变为：



$$\begin{array}{l} \text {原式} = 4 \times \left(1 ^ {2} + 2 ^ {2} + 3 ^ {2} + \dots + 5 0 ^ {2}\right) - 2 \times (1 + 2 + 3 + \dots + 5 0) \\ = 4 \times \dfrac {5 0 \times 5 1 \times 1 0 1}{6} - 2 \times \dfrac {5 0 \times 5 1}{2} \\ = 1 6 9 1 5 0. \end{array}$$

方案一：

$\dfrac {1 + 2 + \cdots + (n + 1)}{2 + 3 + \cdots + (n + 1)} = \dfrac {\dfrac {(n + 1) (n + 2)}{2}}{\dfrac {n (n + 3)}{2}} = \dfrac {(n + 1) (n + 2)}{n (n + 3)} = \dfrac {n + 1}{n} \times \dfrac {n + 2}{n + 3}= \left(\dfrac {2}{1} \times \dfrac {3}{4}\right) \times \left(\dfrac {3}{2} \times \dfrac {4}{5}\right) \times \left(\dfrac {4}{3} \times \dfrac {5}{6}\right) \times \dots \times \left(\dfrac {5 0}{4 9} \times \dfrac {5 1}{5 2}\right)= \left(\dfrac {2}{1} \times \dfrac {3}{2} \times \dfrac {4}{3} \times \dots \times \dfrac {5 0}{4 9}\right) \times \left(\dfrac {3}{4} \times \dfrac {4}{5} \times \dfrac {5}{6} \times \dots \times \dfrac {5 1}{5 2}\right) = \dfrac {5 0}{1} \times \dfrac {3}{5 2} = \dfrac {7 5}{2 6}.$

方案二：

$\mathrm{i} a _ {n} = \dfrac {\dfrac {(1 + n + 1) \times (n + 1)}{2}}{\dfrac {(2 + n + 1) \times n}{2}} = \dfrac {(n + 1) \times (n + 2)}{n \times (n + 3)},$

所以原式

$= \dfrac {2 \times 3}{1 \times 4} \times \dfrac {3 \times 4}{2 \times 5} \times \dfrac {4 \times 5}{3 \times 6} \times \dfrac {5 \times 6}{4 \times 7} \times \dots \times \dfrac {4 8 \times 4 9}{4 7 \times 5 0} \times \dfrac {4 9 \times 5 0}{4 8 \times 5 1} \times \dfrac {5 0 \times 5 1}{4 9 \times 5 2} = \dfrac {3}{1} \times \dfrac {5 0}{5 2} = 2 \dfrac {2 3}{2 6}.$

原式= (2 - 1) × 1! + (3 - 1) × 2! + (4 - 1) × 3! + (5 - 1) × 4! + … + (10 - 1) × 9! + (11 - 1) × 10! = 2! - 1! + 3! - 2! + 4! - 3! + 5! - 4! + … + 10! - 9! + 11! - 10! = 11! - 1.

方法一：观察发现，每一项的第一个乘数都是对应的项数，每一项前后两个乘数的和都是$101$.

因此通项公式可以写为： $n \times (101 - n) = 101n - n^{2}\dot {t} = 1 0 1 \times (1 + 2 + \dots + 1 0 0) - \left(1 ^ {2} + 2 ^ {2} + \dots + 1 0 0 ^ {2}\right)= 1 0 1 \times 5 0 5 0 - \dfrac {1}{6} \times 1 0 0 \times 1 0 1 \times 2 0 1 = 1 7 1 7 0 0$

方法二：此题也可以用“踢三角”去思考，“踢三角”每一项的基本形式是“自然数列$×$等差数列”.

原式可以理解为“$1$个$100$、$2$个$99$、$3$个$98$、…、$99$个$2$、$100$个$1$的和，正好可以放入大等边

三角形内部尖朝上的三角形里”．

原式 $= (1 0 0 + 1 + 1) \times (1 0 0 + 9 9 + 9 8 + \dots + 3 + 2 + 1) \div 3 = 1 7 1 7 0 0.$

故答案为：$171700$.

$11$；$9$

$400 = 20^{2}$ ， $4 = 2^{2}$

所以大正方形的边长是$20$厘米，

小正方形边长是$2$厘米，

所以长方形长为 $(20 + 2) \div 2 = 11$ （厘米），

宽为$20-11=9$（厘米）.

由已知可得，小正方形正好可以放入大正方形的中空部分，则面积差为$4$个直角三角形的面积： $\dfrac{3\times4}{2}\times4=24$ （平方厘米）。

设直角三角形两条直角边长分别为a，b，由图可知大正方形周长比小正方周长多了$8$个短直角边a，即$8a=32$，a为$4$，而大正方形比中正方形大的面积为四个直角三角形面积之和，可知 $ab\div2\times4=96$ ，则b为$12$，小正方形周长为 $(12-4)\times4=32$ 。

略

无解析

见解析

由于 $5 = 1^{2} + 2^{2}$ ，利用勾股定理，如图

见解析

方案一： $1^{2} + 2^{2} = 5$ ，故剪拼方法如图：

方案二：纸片的面积是 $1 \times 5 = 5$ （平方厘米）。正方形的面积是$5$平方厘米，即正方形边长的平方是$5$， $2^{2} + 1^{2} = 5$ ，由勾股定理可知直角边分边为$1$厘米和$2$厘米的直角三角形斜边的平方是$5$。于是构造图形如下图所示。

方案一：连接如图所示的线段得到四个全等的三角形，

则阴影面积为 $4 \times 6 + (6 - 4) \times (6 - 4) = 28$ .

方案二：利用勾股定理得正方形面积为 $4^{2} + 6^{2} = 52$ ，则阴影面积为 $52 - 4 \times 6 = 28$